Resolver ecuaciones cuadráticas

 

En una ocasión anterior se abordó la solución de las ecuaciones de primer grado. En el caso de una ecuación cuadrática el método de solución es diferente. Las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente estructura

 ax²+bx+c=0

donde a,b,c son números que serán conocidos en el momento que se resuelva el problema.

En el caso de una ecuación cuadrática, en general, existen dos soluciones. 

Para encontrar estas soluciones se puede intentar factorizar la expresión de la izquierda de la ecuación.

Por ejemplo, si se quiere resolver la ecuación 

 x²+x-2=0

Se puede intentar factorizar la expresión de la izquierda,   x²+x-2

Al hacerlo se obtiene x²+x-2=(x-1)(x+2).

Y la ecuación queda de la siguiente manera (x-1)(x+2)=0. En esta ecuación existe un producto que es igual a 0. Esto implica que cada uno de los factores de la izquierda puede igualarse a 0.

x-1=0 y x+2=0. Estas son dos ecuaciones de primer grado que al resolverlas se obtiene x=1 y x=-2. Estas son las soluciones de la ecuación x²+x-2=0.

Ahora bien, ¿Qué sucede si no se puede factorizar el miembro izquierdo de la ecuación?

Como sería el caso de  x²+7x+5=0

Antes de pasar a analizar este caso es útil examinar la siguiente ecuación

x²-4=0

En este caso también se tiene una ecuación cuadrática donde el valor de b, es decir, el número que multiplica a "x" es cero.

Volviendo por un momento al caso de la ecuación x²+x-2=0, cuyas soluciones son x=1 y x=-2.

En esta ecuación la suma de las raíces es igual a -1 que es el negativo del coeficiente de "x" y el producto de las raíces es -2 que es el término independiente.

Estas propiedades también las cumple la ecuación x²-4=0 cuyas soluciones son x=2 y x=-2. Las cuales pueden ser encontradas por factorización. En este caso 

Si fuera posible transformar la ecuación  x²+8x+5=0 en otra ecuación que tuviera la misma estructura que la ecuación x²-4=0, entonces podría resolverse también por factorización. Esto puede lograrse de la siguiente forma:

Supongamos que "x" represente las raíces de  x²+8x+5=0. Si se suma a estas raíces la mitad del coeficiente de "x", es decir, 4 entonces la suma de las nuevas raíces será cero.

Sea y=x+4 las nuevas raíces. De aquí se puede despejar x=y-4, y sustituir en  x²+8x+5=0.

 (y-4)²+8(y-4)+7=0. Al simplificar se obtiene  y²-11=0. Que puede resolverse y obtener

y=11^½ e y=-11^½. Pero lo que nos interesan son los valores de x. Al sustituir en x=y-4 se obtiene

x= 11^½-4 , x=-11^½-4

Que son las soluciones de x²+8x+5=0.

Si se aplica este mismo método a la ecuación cuadrática general  ax²+bx+c=0 se obtiene una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.