En una ocasión anterior se abordó la solución de las ecuaciones de primer grado. En el caso de una ecuación cuadrática el método de solución es diferente. Las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente estructura
ax2+bx+c=0
donde a,b,c son números que serán conocidos en el momento que se resuelva el problema.
En el caso de una ecuación cuadrática, en general, existen dos soluciones.
Para encontrar estas soluciones se puede intentar factorizar la expresión de la izquierda de la ecuación.
Por ejemplo, si se quiere resolver la ecuación
x2+x-2=0
Se puede intentar factorizar la expresión de la izquierda, x2+x-2
Al hacerlo se obtiene x2+x-2=(x-1)(x+2).
Y la ecuación queda de la siguiente manera (x-1)(x+2)=0. En esta ecuación existe un producto que es igual a 0. Esto implica que cada uno de los factores de la izquierda puede igualarse a 0.
x-1=0 y x+2=0. Estas son dos ecuaciones de primer grado que al resolverlas se obtiene x=1 y x=-2. Estas son las soluciones de la ecuación x2+x-2=0.
Ahora bien, ¿Qué sucede si no se puede factorizar el miembro izquierdo de la ecuación?
Como sería el caso de x2+7x+5=0
Antes de pasar a analizar este caso es útil examinar la siguiente ecuación
x2-4=0
En este caso también se tiene una ecuación cuadrática donde el valor de b, es decir, el número que multiplica a "x" es cero.
Volviendo por un momento al caso de la ecuación x2+x-2=0, cuyas soluciones son x=1 y x=-2.
En esta ecuación la suma de las raíces es igual a -1 que es el negativo del coeficiente de "x" y el producto de las raíces es -2 que es el término independiente.
Estas propiedades también las cumple la ecuación x2-4=0 cuyas soluciones son x=2 y x=-2. Las cuales pueden ser encontradas por factorización. En este caso
Si fuera posible transformar la ecuación x2+8x+5=0 en otra ecuación que tuviera la misma estructura que la ecuación x2-4=0, entonces podría resolverse también por factorización. Esto puede lograrse de la siguiente forma:
Supongamos que "x" represente las raíces de x2+8x+5=0. Si se suma a estas raíces la mitad del coeficiente de "x", es decir, 4 entonces la suma de las nuevas raíces será cero.
Sea y=x+4 las nuevas raíces. De aquí se puede despejar x=y-4, y sustituir en x2+8x+5=0.
(y-4)2+8(y-4)+7=0. Al simplificar se obtiene y2-11=0. Que puede resolverse y obtener
y=11½ e y=-11½. Pero lo que nos interesan son los valores de x. Al sustituir en x=y-4 se obtiene
x= 11½-4 , x=-11½-4
Que son las soluciones de x2+8x+5=0.
Si se aplica este mismo método a la ecuación cuadrática general ax2+bx+c=0 se obtiene una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
